Математика

Философские проблемы математики Попробую дать некий список литературы, который минует привычное... то, что вам дали. Общая такая книга. То, что говорят, новиков и Арнольд... расходятся. Математическая логика и философская логика. Есть какая-то смычка. Немного об этом расскажу. Поскольку приходится над чем-то задумываться. Над чем задумываться - я расскажу. Более интересную вещь представляет собой... Сейчас я скажу, что здесь скмое, может быть, интересное. Я напишу... В.В. Арнольд. Я рекомендую литературу: 1) В. И. Арнольд. "Математическая дуэль вокруг Бурбаки" Вестник РАН. 2002 г. Т. 72. номер 3. 2) Барабашев (мой сокурсник) "Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования." - прогнозирование того, как будет разваиваться математика в будущем. Москва 1999 г. Бурбаки я вам читать не советую. Но можете и почитатть. Ещё посоветую. Обязательно читать. Просто развивает. По диагонали смотрел книжку: Григорян А.А. "Закономерности и парадоксы развития теории вероятностей. Философско-методологический анализ" Масса "парадоксов". Всё объясняется. Но есть некоторые вопросы, которые вызывают философские размышления. Как нам быть? Куда двигаться? Лакатос... "Доказательство и опровержение. Как доказываться теоремы" М 1967 г. Сергей Петрович Новиков "Вторая половина 20-го века и её итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе". Историко-математические исследования. Москва 2002. Выпуск второй. (???) "Из истории аксиоматики" Вряд ли вам про аксиоматический метод попадутся вопросы. Но пинмать, что это такое надо. "Из истории аксиоматики. Историко-математические исследования" М 1958, выпуск 11. В.В.Успенского оень интересная статья - не помню, как она называется. Мне неудобно писать и таскать с собой микрофон...

Математика зародилась достаточно даавно. Оопределённые задачи.... Прежде, чем говорить, когда она зародилась... Раньше вы (я в то время не читал таких лекций)... Аа занималась этим кафедра фс. Все вы проходили.... Пполучили высшее образование.... Хотя бывает иногда... очень редко... Кандидат.. Без ВО. Проходили фс где-то, как и я на втором курсе. В это время .... Меня эта фс совершенно не интересовала. Были вещи гораздо более близки. Я занимался спортом и математикой. ФСС надо - в лучшем случае надо читать не на 2-м курсе, а где-нибудь в аспирантуре. Я имею в виду фс. а не историю фс. Историю фс надо, как раз читать на втором курсе. Кнта, платора можно не придерживаться, но их надо бы знать... Постепенно начинаю вспоиинать, как называлась статья Успенского. Теперь эти кафедры называются история и философия науки. Именно это и надо изучать. А фс - это удел немногих. Вы ещё очень молодые. А когда вам за 50 стукнет - вы начнёте думать, а что же там происходит... Отчего и почему... Физики сделали коллайдер, который сломался. Некоторые астрологические умы сейчас говорят, что как они это запустят... Зельдович рассказывал теорию большого взрыва.... Речь идёт о куске вселенной только. Но "там" ещё чтохто есть. Так же, как в аксиоматическом методе этот вопрос задавать можно до бесконечности. Например в теории множеств... Множество всех множеств... Кто хочет ходить к нам на семинар математиков.... У нас будут занятия здесь по пятницам. Первое занятие будет 19 декабря в 10%30. В комнате 123. (Где зав каф.) Кто хочет немного пофилософствовать. Не только по математике, но и .... За что получил Филдса Новиков? За разработки по теоретической физике. Но теоретическая физика - почти то же, что математика. Сильная такая смычка. У нас сначала будет немного скучно. Будем изучать развите греческой, догреческой, вавилоснкой математики. О том, как это всё будет проходить... Вернёмся к фс математики. Прежде, чем говорить об истории, скажем: хорошо известно, что сейчас... Что это за природа такая - у математического знания? 1) Это болезнь наших голов. Постепенное отслоение насущных потребностей. (Зерно посчитать, измерить его объём - в Египте ещё). Зарождается математика - она носит чисто прагматический характер - но уже там имеются элементы теоретического знания. Уже в древней греции теоретическая математика имеет полное присутствие. Хорошо знакомы "начала" Евклида. Здесь появляется так называемый аксиоматический метод. Стандарт разделения: имеет тричасти этот метод. 1) содержательно-аксиоматичесеский метод - это Евклид начал. Знаменит тем, что он изложил геометрию... Не странно, что геометрия дальше будет пристуствовать. Кажется очевидным... Тем не менее, надо это доказывать... А точное решение с доказательством - не уделял я им никакого внимания. Потом я понял, что этим надо заниматься... Геометрия - первая вещь, на которой аксиоматический метод проявился. 2) надо отделять прагматическую вещь отделять от научной. Полуформальный аксиоматический метод. У Евклида не было это выделено. Точка, Линия... Можно эту книжку открыть-посмотреть.... А дальше - вот что. На совершенно не интересует та или иная структура, которую мы описываем. Нас интересуют только взаимоотношения. Пусть, занимаемся множествами... Нас не интересуют обекты, которые объекдиняем в группу. Неважно, из чего вы делаете группу. Важно, какие взаимоотношения между элементами вы описываете. 3) Последняя. Полная формализация - когда нет ни описания объектов, ничего... Одни аксиомы. Мы можем под эти аксиомы подсовывать любую семантику. Нас не интересует совершенно содержание. Имеют понятия, формулы, язык.... Аксиомы с помощью логики записаны. Аристотелевская логика - силлогистика - это не совсем "то", хотя укладывается в рамки логики предикатов. Никаких описаний у нас нет. Чисто пишем, что доказательства - это цепочки символов... Хорошо это или плохо? Представьте себе (Бурбаки), чтобы написать доказательство самого простого факта из арифметики - вам придётся несколько миллардов знаков написать в вашем выводе. Поэтому вместо настоящего вывода стали предлагать метапеременные, мета доказательства... Блоками стали работать. Хотя формально мы это сделать можем, полные доказательства никто не делает. Есть такая книга... Первые несколько страниц прочитайте. Развитие Логики от Лейбница до онаших дней. НКВерещагин АШень "Языки и исчисления" - один из трёх томов. Небольшаоя книжка такуая... поймёте, как люди научились разбираться в формальных вещах - и что там можно делать, и чего та мделать нельзя. Формализованный метод появился у Гильберта в книге "Основания геометрии". Именно Гильберт позде предложил выход - как спасит всю математику. От чего спасать её - позже оъясню. Происходит борьба между тенденциями к формализации и проти формализации - к "живой" математике. 1) Фундаментальное направление в математике, то есть, объяснение сущности математии вне зависимости от её истории. 2) Нефундаментиальное направление развития математики. Связано с развитием математики. Две разные трактовки существюут. Лакатос и Олдер. "Математика как культурная система". По этому поводу успе5енский писал статью "Апология математики. Или математика как культурное знание". Всё начинается с натурального ряда. И заканчивая вопросом, как устроена геометрия реального мира. Лакатос "Доказательство и опровержение: как доказывать теоремы". Можно отметить три ветви в развитии нефундаментального направления математики. 1) Кун. Историческая концепция - концепция научных революций. Первая революция - открытие несоизмеримых отрезков. Греки думали совсем не так. Они думали, что все отрезки можно чем-нибудь соизмерить. Так появлятся иррациональные числа. Это выставило такой вопрос: как возможно развитие математики. В каком смысле теоретическая математика не потерпела фисако. Этот парадокс был подогрет Зеноном: "движения нет". Движение, конечно, есть. Вопрос не в том.... А как его выразить в логике понятий - ви ленине. Первый сильный толчок. Дальнейшие открытия... комплексные, гипердействительные... Нестандартный анализ... Возникают овпросы: нельзя ли .... Всегда в этот момент физики приходят к математикамм... Функция Дирака... Математики сделали подпорки... Но физики были первыми. Когда ыисла новые появлялись - таких потрясений не было. Как говорят в суде? М.С. всегда путал прецедент с претендентом. Я вам о другом расскажу. Я не могу написать: когда-то я принял такой тезис: если я что-то могу рассказать - зачем я это буду писать. Так же как шахматисту, математику - если он работает - не нужно ничего писать. Обычно открытие неевклидовых геометрий называют вторым таких сильным потрясением. Два слова... Как воспринимать математику? Когда строгость была подорвана... Понимание того, куда двигаться математике - стало достаточно спорным. Физических картин мира много. Математических КМ тоже немало. Попытались после того, как Евклид задал пять постулатов, (говорить о плоской геометрии будем). Естественно, вопрос: а какое минимальное число? Аксиоматика действительных чисел тольк одна... В таком же стиле попытались разобраться с пятым постулатом... Ничего не получилось. Это было очень тяжело. Можно взять отрицания (в разных смыслах) пятого постулата - и все эти интерпетретации будут иметь модель в евклидовой геометри. Есть аналитическая геометрия в 4-метром пространстве. И в 5-мерном, и в 1000-мерном пространстве. Пердставлять себе 4-мерный куб. Или 4-мерную сферу, может быть, слоожно. Одна из самых простых и красивых моделей неевклидовой гометрии - Бертрана. Это характерно полуформальному методу. Когда отвлекается от... Остаются только постулируемые отношения. Под данную теорию могут подойти многие объекты. Дальнейшие потрясения были ещё более удивительны. В теории множеств Кантора противоречия. Матанализ. Оон стал приобретать современные формы в конце 19 века. Под влиянием трудом Вейерштрасса, Больцано, Дедекинда. ... Из узучения различных функций.... Кантор впервые сказал, что такое множество. Появляются порядковые числа и мощностные числа. Если ... ординалы и кардиналы. Вопрос подхода к тому, как представлять себе бесконечность. Две ипостаси. Весь натуральный ряд - предельный ординал - он же кардинал. Ординал - это "который". Первый, второй, третий, пятый... Это актуальная бесконечность -когда бесконечность ухватили всю целиком. 2) другой вариант бесконечности - потенциальная бесконечность. Эффективная конструктивная бесконеность. Да, можем добраться до любого натурального числа. Но не более того - там, за ними ничего нет. Такая математика тоже существует, но она не прижилась. Нестандартный анализ тоже первоначальноопоказался очень привлекательным. Дифференциальный анализ был создан трудами Ньютона и Лейбинца. В быт математический вошла точка зрения Ньютона. Бесконечно малые - как функции. А бесконечные малые - как константы... Эта ситуация была исправлена в 60-х гг. Как это вошло в теорию вероятностей. Достоверное. Невозможное событие. 1 и 0. Если событие имеет вероятность 0, то оно невозможно. Это не совсем правда. Некрасиво. С помощью нестандартного анализа это положение можно исправить. Слишком "тяжёлая" математика. Вернёмся к верблюдам. Появилась теория множеств. Гильберт был страшно доволен тем, что сделал Кантор. Кантор уже понимал, что то-то там не так. Ругательное слово назову - континуум гипотез - не доказывалась. В дискриптивной теории множеств (Лузин и ученики) похожие проблемы стали возникать. Масса проблем не имели решения в приивычном смысле. Но получается... Как у Лобачевского и Бойя... У Кантора в его его работе было противоречий. Множество подмножеств данного множества имеет большую мощность, чем само множество. А если возьмём множество всех множеств. мощности там должны совпасть. А не строго больше. (Как по Кантору). Гладким образом не получается. проблема? Да. Философская. Надо убежать из теории множеств. Как? Сделать полуформальную теорию. Что такое множество там не говорится. Записаны аксиомы. Они так устроены, что множества всех множеств там просто нет. Множества берутся не все сразу. А строятся постепенно, шаг за шагом. Из некоторых аксиом. Две довольно сильные. Но ничего плохоого не приносят. Проблемы возникают оотуда, когда "взять все объекты с данным свойством". Значит, всё хорошо? Есть более низкий уровень - аксиомы Пеано. Строится примерно так же, как теория множеств. И вопрос: есть ли у неём модель? Если есть? 1) Из чегос осотоит эта модель? (оказывается из самой же арифметики она состояит) 2) В какой другой теории мы доказываем, что эта модель и есть модель? (Чем ещё мы пользуемся?) Возникает такой нарастающий вал. Гильберт предлагает программу по доказательству непротиворпечисвости арифметики. Давайте запишем, что такое, язык, формула, доказательство, прттиовречие... Когда такую штуку проделали. Очень быстро (6-7 лет) Курту Гёделю удалось доказать две теоремы. Про одну говорить не буду. А во второй он доказал, что в этой теории есть утверждения, которые истинны на натуральном ряду, но оно в этой теории невыводимо. То есть он доказал, что невозможно теорию натуральных чисел (арифметику) полностью доказать. Что она - неполная теория. Как он это доказал? Он показал, что она если она непротиворечива, что она неполна... А в противоречивой можно вывести всё, тчо угодно. Отсюда он сделал вывод, что средствами арифметики доказать её непротиворечивость невозможно. Более того, этот фокус он до сих пор действует вот каким образом: ннет ни одной мало-мальски соержательной теории, в которой можно было её непротиворечивость доказать. Философский это вывод или нет? конечно философский. Он сказал, чего можно делать, чего нельзя. Что делать?.. Другой возможный вариант выхода из этой ситуации. Начать работать только с такими объектами, которые не вызывают никаких возражение - чтобы все были согасны. Вместо натуралных чисел писать палочки. И такая возможность (линия) была тоже рассмотрена. Это известная конструктивное направление А.А. Маркова - младшено (не теоретико-вероятностного). Она заложил целое нправление в математике. Да, оно не выдержало определённой критики. Но оно было простым и понятным. Континуум там был счётным. Опиралась эта теория на т.н. частично-рекурсивные функциии. Пусть есть два натральных ряда. И устраиваете функцию из первого во второй. Теперь возьмёте не все функции. А только часть. И два оператора... Операция подстановки. Вторая - операция примитвной рекурсии. Можно строить ещё одну функцию. Получающийся класс функций - счётный. Значит, можно его пренумеровать. Опираясь на этот класс. И на некоторые другие ясные факты - с которыми спортить трудно. Он построил конструктивную математику, конструктивные топлогические пространства. Я забыл сказать, что логика у него была... Он из неё закон исключённого третьего выбросил. и разрешил им пользоваться только в определённых случаях. Для опеределённых формул. потому что перенос этого закона на бесконечность... Незаконно. Потому что требует актуальной бесконечности. Как доказать, что всякое бесконечное множество содержит счётное модмножество.

Как доказать, что всякое бесконечное ограниченное множество имеет предельную точку. По принципу стягивающихся отерзков... Такое доказательство конструктивисты не признают. У конструктивистов се утвреждения делятся на 3 группы: которые доказаны, которые опровергнуты. И утвреждения, которых ничего неизвестно. И если они умеют доказывать, что существует объект со свойством таким-то - то они умеют этот объект строить. Приведу пример, когда всё хорошо. поверьоте мне, что, можно доказать, что если определитель не равен нулю, то у матрицы есть обратная. Как доказать? Эта матрица выписывается - это конструктивное доказательство. А пусть надо показать, что существует икс, для которого верное law of excluded middle Закон снятия двойного отрицания. Этот закон слабее этого. Из этого этот следует, а наоборот - нет. Как пользоваться этими закконмаи.... Главное, что конструктивисты их не принимают.

Конструктивная математика зародилась в трудах замечательного голландского тополога - Брауна. и его философская установка была такой: главное в математическом творчестве - индивидуальный ум того математика, который делает эти построения. И ес... Сомнения начинаются тогда, когда она начинает накладывать на это построение язык и логику. Но эта точка зрения - очень мутная. Как они её трактовали.... И он очень долго не мог ничего построить. Потом понял, что ему нужны дполнитрельные принципы. Чтобы математический анализ построить... Отличный от классического - ему нужны некоторые принципы. Подходим к самому главному моменту. Третий кризис, который возник в математике в связи с созданием Кантором замечательной такой теории можнеств. Кантор болезненно переживал все эти споры. И он и Гёдель КОНЧИЛИ ПЛОХО - В сумасшедший дом попали. Они хотел сущность математики понять. Гёделя теоремы ещё две есть. Он доказал, что аксиома выбора - очень неконструктивная вещь. Она зависима от теории множеств аксиоматическая, и независима. Можно построить модель... В которой будет верна, ив которой будет отрицание. Логицизм - продукт Бертрана Рассела. Он подложил бомбу. Справедливо заметить, что такие большие множества нам не нужны для математической деятельности - когда хотим решать математические задачи. Чебышов посмотрел, как золотник работает - описал его ход - и придумал многочлены наименне отклоняющиеся от нуля. И вернул обратно в практику. Вот так математики работают. Мне трудно сказать, что сейчас делается. У нас работает семинар по аксиоматической теории множества. На мехмате МГУ. Пытаются эту аксиоматическую теорию множеств. Что надо добавить... сколько так будем добавлять, чтобы обо.... На этом пути наступает насыщение. Достигнуть Гильбертовской гипотезы не представляется возможным. То, что пишут по этом поводу знатоки - там ситуация приукрашена. Мы все хотим, чтоб что-то произошло... Они верят, что выкарабкаемся из этой ситуации. В какой-то степени, кое-что сделано. В завершение. - Вторая теорема Гёделя утверждает, что в достаточно богатой теории. Что получается? 1) пытаемся на этих уровнях насытиться и успокоиться: как бы достигли непротиворечивости. На само деле мы её не достигаем. 2) Давайте выберем из списка аксиом те постулаты, которые не вызывают никакого сомнения у подавляющего большинства. Оказалось, что даже самые простые постулаты такой критики не выдерживают. Но всё равно так поступим. И возьмём логику эффективную (конструктивную, интуиционистскую). Добавить закон исключённого третьего - получится одно расширение. А можно сделать другое расширение - получить консрруктивную математику Маркова. Хорошо. Этот конструктивист признаёт эту часть. А есть ещё расширение и ерё расширение - и таких будет 5 или 6. А если всю эту картинку поднять на уровень теории множеств. Там очень мнмого интересных принципеов рождаются. Очень простых. Вот ещё один подход. Заранее скажу. Математики единой - пофилософскому обоснованию - не существует. Мне кажется, так и должно быть. Тем-то и хорошо человечество - поэтому и выживает, что все мы разные. Но все вместе очень крепко стоим на ногах.

Частично я на этом завершаю. Вопрос неясный какой-то. Повторю теорема Гедёля: - он доказал, внутри этой теории, что внутри этой теории нельзя доказать её непротиворечивость. Тогда скажу... Как готовиться к экзамену. Веь экзамен ваш. Он будет поделён на вде части. Вторая часть будет касаться только математиков. Больше никого. У каждого будет своя специфика. Какоие общие вопроы могут вам попасться. Ф и неф направления в математике. Аксиоматический метод.. Революции в математике. Предвидение будущего. Лакатос, поппер. Периоды развития. Предмет и метод математики. Чтобы вы поняли, тчо сейчасв математики бурные вещи творятся. Теория сложности алгоримтво и вычислений. Про проблему Ферма подозревали, что она неразрешима. Про П=НП... Это всё конечная простая математика. Он а не требует вывертов. А зачем всё это нужно? Если мы хотим изучать историю математики и фс математики. Этих вопросо никак обойти не удастся.